CONVOLUTION

Définition

remarque :  Nous définissons l'impulsion de Dirac d(t) au sens des distributions. Elle a pour valeur en t=0, la valeur égale à 1 de l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini d'une impulsion idéale de largeur nulle centrée en t=0.

Application : Réponse des systèmes linéaires

Définition :  La réponse impulsionnelle d'un circuit est la réponse à une impulsion de Dirac.

	entrée	sortie
			réponse impulsionnelle
linéarité
	e	s=e*h

Conclusion :  

1- Un système linéaire est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle h(t). 

2- La réponse du système à une excitation est égale au produit de convolution entre l'excitation et la réponse impulsionnelle. 

Théorèmes :

de Plancherel		Démonstration
La transformée de Fourier d'un produit de convolution est égale  au produit des transformées de Fourier
de Parceval		Démonstration
L'énergie d'un signal se calcule de la même manière sur son histoire temporelle ou sur son spectre

Conséquence :

Si on prend la transformée de Fourier de l'expression qui donne la réponse d'un circuit linéaire on obtient :

où H(n) est la transformée de Fourier de h(t). H(n) est la réponse en fréquence du circuit.