Exercice N°10

Déterminer l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire x créée à partir du jeux de pile ou face. La variable x vaut 1 lorsque pile sort et 0 pour face.

Correction

Pour un événement aléatoire discret, l’espérance mathématique se calcule par :

où p(x) est la probabilité d’apparition de l’événement x.

Ici, dans le jeu de pile ou face, la variable x prend deux valeurs x0=0 (face) et x1=1 (pile).
La probabilité d’apparition de pile ou de face est la même et vaut ½ ( une chance sur deux de faire soit pile soit face, si l’on exclut que la pièce puisse s’arrêter sur la tranche !), donc :

La variance se calcule par :

Avec :

ce qui donne avec la valeur de E(x) :

Pour la moyenne on aurait :

or,

Car l'espérance mathématique d'une somme est égale à la somme des espérances mathématiques, d'où :

Pour la variance, le même raisonnement conduit à :

La première somme des carrés comporte n termes tandis que la somme double des produits croisés comporte n.n-n termes ce qui donne :

Car l'EM d'un produit de deux VA indépendantes (ce qui est le cas ici, car pour le produit croisé i est différent de j ) est égal au produit des EM des deux VA. On obtient donc :

En reportant dans l'expression de la variance, il vient :

cqfd.

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